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PRIMERAS CONTRIBUCIONES PLERIMINARES
En la Edad Media, la discusión del infinito había dado lugar a la comparación de conjuntos infinitos. Por ejemplo Alberto de Sajonia, demuestra que un haz de longitud infinita tiene el mismo volumen que el 3-espacio. Él demuestra esto cortando el haz en trozos imaginarios que luego se ensamblan en capas con céntricas sucesivas que llenan el espacio -
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Definición general de conjuntos
"Bajo la denominación de variedades o de conjunto, entiendo en general la multiplicidad que puede ser considerada como unidad, esto es toda colección de elementos determinados que pueden ser juntados en un todo por medio de una ley" Georg Cantor https://prezi.com/iqf-zhvsvlkf/la-teoria-de-conjuntos-historia-evolucion-al-paso-del-tiempo/ -
GEORG CANTOR
fue un matemático nacido en Rusia,1 aunque de ascendencia alemana y judía.2 Fue inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas
modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales). https://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor -
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ETAPAS EN EL DESCUBRIMIENTO DE LA TEORÍA DE CANTOR
-Cantor descubrió su teoría general de conjuntos y en particular su teoría de los transfinitos, Apartir de problemas matemáticos muy concretos planteados por Heine.
-la introducción de los conjuntos derivados de puntos implica una primera generalización del planteamiento inicial.
-Cantor introdujo los símbolos de infinitud en 1880.
-Empieza a utilizar instintivamente una aritmética de símbolos combinándolos entre si y con los números N.
-1883Cantor había asimilado esos símbolos a números.(FI-IN) -
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1878-1884
Cantor continua su trabajo y entre 1878 y 1884 escribe una
serie inigualable de artículos en los Mathematishe Annalen atacando los problemas de equipotencia, de los conjuntos totalmente ordenados, de las propiedades topo lógicas de R y Rn,de la medida de un conjunto, de la concepción del continuo, de los conjuntos bien ordenados, de los ordinales y de los cardinales -
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1895- 1897
Entre 1895 y 1897 desarrolla LA TEORÍA DE LOS CONJUNTOS TOTALMENTE ORDENADOS, la aritmética de ordinales, demuestra que m < 2m e intenta probar que existe una relación de buen orden entre los cardinales. Consigue este resultado con ayuda de Berstein, quien probó en 1897 que si a < b y b < a entonces a u b y de Zermelo que en 1904 estableció el Principio de Buena Ordenación ya intuido por Cantor desde 1883. -
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FINALES DEL SIGLO XIX
La persistencia de Cantor, sumada al apoyo personal y científico de Dedekind, consiguieron que la Teoría de Conjuntos fuera
reconocida en el Congreso Internacional de Matemáticas realizado en Zurich en 1897.
a finales del siglo XIX Cantor había revolucionado los Fundamentos de la Matemática, había sido fuertemente combatido y al final había triunfado -
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PARADOJAS DE LA TEORIA
El problema apareció cuando empezaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la mas celebre la paradoja de Russelll y entre otros matemáticos que encontraron mas paradojas, entre ellos el mismo Cantor, Russell descubrió su paradoja en 1901 y esta fue publicada en el apéndice de su libro "principios de las matemáticas".
Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran verdaderas. -
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SOLUCIONES A LAS PARADOJAS
-La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas vino de Brouwer, quien propuso una re definición radical de todas las matemáticas
-David hilbert en 1904 propuso la teoría de la prueba, la cuál era una teoría de la lógica independiente del contexto y podría ser aplicada a las matemáticas sin encontrar paradojas. Russell a su vez desarrolló su teoría de los tipos para evitar las paradojas.
-Ernst Zermelo en 1908 con la axiomatización de la teoría de conjuntos -
TEORIA DE CONJUNTOS EN LA ACTUALIDAD
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica para construir objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones,...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son:el conjunto de los naturales N,números enteros Z,números racionales Q,reales R y números complejos C.
